章末分层突破

 

[自我校对]

①面积、路程　②做功　③牛顿­莱布尼茨　

④面积　⑤体积

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

定积分的计算

1.利用定义求定积分.步骤：(1)分割区间；(2)求过剩估计值、不足估计值；(3)取极限.

2.利用定积分的几何意义求定积分.

3.利用微积分基本定理求定积分.若F′(x)＝f(x)，f（x）dx(b)＝F(b)－F(a).

　求下列定积分.

(1)dx；(2) x(ln3x)dx.

【精彩点拨】　(1)可用定积分的几何意义求解；

(2)先去绝对值号，然后结合定积分的性质求解.

【规范解答】　(1)dx表示的是图中阴影所示半径为2的半圆的面积.

其面积为2(1)×π×2²＝2π，

所以dx＝2π.

(2)∵x(ln3x)＝，1≤x≤e，(ln3x)

∴e(e)x(ln3x)dx＝e(1)x(ln3x)dx＋x(ln3x)dx.

∵4(ln4x)′＝x(ln3x)，

∴e(e)x(ln3x)dx＝－4(ln4x)e(1)＋4(ln4x)1(e)＝－4(ln41)＋e()＋4(ln4e)－4(ln41)＝2(1).

[再练一题]

1.计算下列定积分.

(1)x（x＋1）(1)dx；

(2) 2() (cos x＋2^x)dx.

【解】　(1)∵x（x＋1）(1)dx＝x＋1(1)dx

＝[ln x－ln(x＋1)]1(2)1(2)＝ln 3(4).

(2) 2() (cos x＋2^x)dx＝ln 2(2x)2(π)

＝2＋ln 2(1)(22(π)－22(π)).

定积分在几何中的应用

1.由积分的概念可知，定积分在研究求解曲边平面图形的面积中有广泛的应用.求解时应将相应问题画出草图，适当分割后转化为定积分求解.

2.利用定积分也可以求出一些简单的几何体体积.如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等.计算由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而形成的旋转体的体积为V＝π[f（x）]2dx.(b)

　求由曲线y＝x²＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成的平面图形的面积.

【精彩点拨】　→→及积分上、下限(确定被积函数)→ 

【规范解答】　画出草图，如图所示.

所求平面图形为图中阴影部分.

解方程组y＝5x，(y＝x2＋4，)得交点A(1，5)，B(4，20).

故所求平面图形的面积

S＝(x²＋4－5x)dx＋(5x－x²－4)dx

＝x2(5)0(1)＋x3－4x(1)1(4)

＝3(1)＋4－2(5)＋2(5)×4²－3(1)×4³－4×4－2(5)＋3(1)＋4＝3(19).

[再练一题]

2.求曲线y＝sin x，x∈[0，π]与x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周所得到旋转体的体积.

【导学号：94210078】

【解】　由体积公式V＝πy²dx＝π(sin x)²dx

数形结合思想的应用

数形结合思想贯穿本章的始终，主要体现在利用定积分的几何意义求定积分及用定积分求曲边图形的面积.在做题前首先要画出图形，确定图形是在x轴的上方还是下方，并且通过解方程组求出交点的横坐标定出积分上、下限.

　如图4­1所示，在区间[0，1]上给定曲线y＝x²，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分的面积S₁与S₂之和最小.

图4­1

【精彩点拨】　确定被积函数，积分上、下限，求定积分，并用导数求最值.

【规范解答】　S₁的面积等于边长分别为t与t²的矩形面积去掉曲线y＝x²与x轴，直线x＝t围成的面积.

即S₁＝t·t²－x²dx＝3(2)t³；

S₂的面积等于曲线y＝x²与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉一矩形面积，矩形边长分别为t²，1－t，

即S₂＝x²dx－t²(1－t)＝3(2)t³－t²＋3(1).

所以阴影部分面积

S＝S₁＋S₂＝3(4)t³－t²＋3(1)(0≤t≤1).

令S′(t)＝4t²－2t＝4t2(1)＝0，

得t＝0或t＝2(1)，

易知当t＝2(1)时，S最小，

所以最小值为S2(1)＝4(1).

[再练一题]

3.(2016·潍坊高二检测)如图4­2，直线y＝kx分抛物线y＝x－x²与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值.

图4­2

【解】　抛物线y＝x－x²与x轴交点的横坐标分别为x₁＝0，x₂＝1，所以抛物线与x轴所围成图形的面积为

S＝(x－x²)dx＝3(x3)0(1)＝2(1)－3(1)＝6(1).

抛物线y＝x－x²与直线y＝kx交点的横坐标分别为x₁′＝0，x₂′＝1－k，

所以2(S)＝(x－x²－kx)dx＝3(x3)0(1－k)＝6(1)(1－k)³，又知S＝6(1)，

所以(1－k)³＝2(1)，

于是k＝1－2(1)＝1－4().

1.(2014·陕西高考)定积分(2x＋e^x)dx的值为(　　)

A.e＋2 B.e＋1

C.e D.e－1

【解析】　 (2x＋e^x)dx＝(x²＋e^x)|0(1)＝e.故选C.

【答案】　C

2.(2014·江西高考)若f(x)＝x²＋2f(x)dx，则f(x)dx＝(　　)

A.－1 B.－3(1)

C.3(1) D.1

【解析】　∵f(x)＝x²＋2f(x)dx，∴f(x)dx＝0(1)f（x）dx(1)0(1)0(1)＝3(1)＋2f(x)dx，

∴f(x)dx＝－3(1).

【答案】　B

3.(2014·湖北高考)若函数f(x)，g(x)满足f（x）·g（x）dx＝0，(1)则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f(x)＝sin2(1)x，g(x)＝cos2(1)x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x².其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是(　　)

A.0 B.1

C.2 D.3

【解析】　①f(x)g(x)dx

＝sin2(1)xcos2(1)xdx＝2(1)sin xdx

＝cos x(1)－1(1)＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数；

②f(x)g(x)dx＝(x＋1)(x－1)dx

＝(x²－1)dx＝－x(x3)－1(1)－1(1)＝－3(4)≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；

③f(x)g(x)dx＝x·x²dx＝x³dx＝4(x4)－1(1)－1(1)＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数.综上，满足条件的共有两组.

【答案】　C

4.(2015·湖南高考)(x－1)dx＝__________.

【解析】　(x－1)dx＝x2－x(1)0(2)＝2(1)×2²－2＝0.

【答案】　0

章末综合测评(四)　定积分

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.xdx表示平面区域的面积，则该平面区域用阴影表示为(　　)

A　　　　　B　　　　　　C　　　　　D

【解析】　由定积分的几何意义易知选项B正确.

【答案】　B

2.sin xdx＝(　　)

A.1　　　 B.2

C.－2 D.0

【解析】　sin xdx＝－cos x0(2π)0(2π)＝0.

【答案】　D

3.(3x²－2x³)dx＝(　　)

A.2(1) B.2

C.－2(1) D.－2

【解析】　(3x²－2x³)dx

＝(3x²)dx－(2x³)dx

＝3x²dx－2x³dx＝3×3(7)－2×4(15)

＝7－2(15)＝－2(1).

【答案】　C

4.若(2－3x)dx＝－2(a>0)，则a的值为(　　)

A.2 B.3(2)

C.2或3(2) D.2或－3(2)

【解析】　∵a>0，∴(2－3x)dx＝x2(3)0(a)0(a)＝2a－2(3)a²，由题知2a－2(3)a²＝－2，解得a＝2.

【答案】　A

5.曲线y²＝6ax，x＝2a(a>0)绕x轴旋转所得旋转体的体积为(　　)

A.2πa² B.4πa²

C.12πa³ D.14πa³

【解析】　V＝πy²dx＝π6axdx＝3πax²0(2a)0(2a)＝12πa³.

【答案】　C

6.设f(x)＝，x∈[1，e]，(1)则f(x)dx等于(　　)

【导学号：94210079】

A.3(4) B.4(5)

C.5(6) D.6(7)

【解析】　f(x)dx＝x²dx＋x(1)dx

＝3(1)x³0(1)＋ln x1(e)1(e)＝3(4).

【答案】　A

7.由y＝e^x，x＝2，y＝e围成的曲边梯形的面积是(　　)

A.e²－2e B.e²－e

C.e² D.e

【解析】　所求面积为S＝(e^x－e)dx

＝(e^x－ex)1(2)＝e²－2e.

【答案】　A

8.(2016·石家庄高二检测)若x(1)dx＝3－ln 2，且a>1，则a的值为(　　)

A.6 B.4

C.3 D.2

【解析】　x(1)dx＝(x²－ln x)|1(a)＝a²－ln a－1，故有a²－ln a－1＝3－ln 2，解得a＝2.

【答案】　D

9.若S₁＝x²dx，S₂＝x(1)dx，S₃＝e^xdx，则S₁，S₂，S₃的大小关系为(　　)

A.S₁<S₂<S₃ B.S₂<S₁<S₃

C.S₂<S₃<S₁ D.S₃<S₂<S₁

【解析】　S₁＝x²dx＝3(1)x³1(2)＝3(1)×, 2³－3(1)＝3(7)，S₂＝x(1)dx＝ln x1(2)＝ln 2，

S₃＝e^xdx＝e^x1(2)＝e²－e＝e(e－1)，ln 2<ln e＝1，且3(7)<2.5<e(e－1)，所以ln 2<3(7)<e(e－1)，即S₂<S₁<S₃.

【答案】　B

10.设f(x)＝3t2dt，x≤0，(a)若f[f(1)]＝1，则实数a的值是(　　)

A.4 B.3

C.2 D.1

【解析】　因为x＝1>0，所以f(1)＝lg 1＝0.又x≤0时，f(x)＝x＋3t²dt＝x＋t³0(a)0(a)＝x＋a³，所以f(0)＝a³.

因为f[f(1)]＝1，所以a³＝1，解得a＝1.

【答案】　D

11.定积分(－x)dx等于(　　)

A.4(π－2) B.2(π)－1

C.4(π－1) D.2(π－1)

【解析】　(－x)dx

＝dx－xdx.

dx表示圆(x－1)²＋y²＝1的上半圆与x＝1，x＝0，y＝0围成的图形面积.

画出图形(略)可知

S₁＝dx＝4(π)，

S₂＝xdx＝2(1)，∴S＝S₁－S₂＝4(π－2).

【答案】　A

12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋1＋t(25)(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)

A.1＋25ln 5 B.8＋25ln 3(11)

C.4＋25ln 5 D.4＋50ln 2

【解析】　由v(t)＝7－3t＋1＋t(25)＝0，可得t＝舍去(8)，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，此期间行驶的距离为v(t)dt＝1＋t(25)dt＝t2＋25ln（t＋1）(3)0(4)＝4＋25ln 5.

【答案】　C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)

13.若(2x＋k)dx＝2，则k＝________.

【解析】　∵(2x＋k)dx＝(x²＋kx)0(1)＝1＋k＝2，∴k＝1.

【答案】　1

14.曲线y²＝4ax，x＝a(a>0)绕x轴旋转所得的旋转体体积是________.

【导学号：94210080】

【解析】　由旋转体体积公式可得：

V＝πy²dx＝π4axdx＝4πax2(1)0(a)0(a)＝2πa³.

【答案】　2πa³

15.设函数f(x)＝ax²＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x₀)，0≤x₀≤1，则x₀的值为________.

【解析】　∵(ax²＋c)dx＝ax0(2)＋c，∴3(a)＝ax0(2).

∵a≠0，∴x0(2)＝3(1)，又0≤x₀≤1，∴x₀＝3(3).

【答案】　3(3)

16.曲线y＝x²和曲线y²＝x围成的图形的面积是________.

【解析】　作出两曲线y＝x²与y＝x2(1)围成的图形(如图阴影所示)，则图形的面积S＝－x2(1)dx＝x3(1)0(1)＝3(2)－3(1)＝3(1).

【答案】　3(1)

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)由直线y＝kx(k>0)，直线y＝0，x＝1所围成的图形的面积为S₁，由曲线y＝3－3x²，直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的图形的面积为S₂，当S₁＝S₂时，求k的值及直线的方程.

【解】　依题意得S₁＝kxdx＝2(1)kx²0(1)0(1)＝2(k)，

S₂＝(3－3x²)dx＝(3x－x³)0(1)0(1)＝2.

∵S₁＝S₂，∴2(k)＝2，

解得k＝4，

则直线的方程为y＝4x.

18.(本小题满分12分)如图1所示，求由曲线y＝4(1)x²，x∈[0，3]，x＝0及y＝24(1)所围成的平面图形绕y轴旋转一周所形成几何体的体积.

图1

【解】　根据题意和图形，所求体积V＝4() π·(2)²dy＝4π4() ydy＝4π×2(1)y²4()＝2π×16(81)＝8(81π).

19.(本小题满分12分)计算曲线y＝x²－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积.

【解】　由y＝x2－2x＋3，(y＝x＋3，)

解得x₁＝0，x₂＝3.

因此所求图形的面积为

S＝(x＋3)dx－(x²－2x＋3)dx

＝[(x＋3)－(x²－2x＋3)]dx

＝(－x²＋3x)dx＝x2(3)0(3)＝2(9).

20.(本小题满分12分)求由曲线y＝，直线y＝x－2以及x轴所围成的平面图形的面积.

【解】　作出直线y＝x－2，曲线y＝的草图，

所求平面图形的面积为图中阴影部分的面积.

可求得直线y＝x－2与曲线y＝的交点为(4，2).直线y＝x－2与x轴的交点为(2，0).阴影部分的面积(记为S)，由两部分组成：一部分是直线x＝2左边的图形的面积(记为S₁)；另一部分是直线x＝2右边的图形的面积(记为S₂).

则S＝S₁＋S₂

＝dx＋（x－2）dx(4)

＝3(2)x2(3)0(2)0(2)＋3(2)x2(3)4242－x2－2x(1)2(4)2(4)＝3(10).

21.(本小题满分12分)设F(x)＝(t²＋2t－8)dt.

(1)求F(x)的单调区间；

(2)求F(x)在[1，3]上的最值.

【解】　依题意，F(x)＝(t²＋2t－8)dt

＝t3＋t2－8t(1)0(x)＝3(1)x³＋x²－8x，

定义域是(0，＋∞).

(1)F′(x)＝x²＋2x－8，

令F′(x)>0，得x>2或x<－4，

令F′(x)<0，得－4<x<2，

由于定义域是(0，＋∞)，

∴函数的增区间是(2，＋∞)，减区间是(0，2).

(2)令F′(x)＝0，得x＝2(x＝－4舍去)，

由于F(1)＝－3(20)，F(2)＝－3(28)，F(3)＝－6，

∴F(x)在[1，3]上的最大值是F(3)＝－6，最小值是F(2)＝－3(28).

22.(本小题满分12分)求由曲线y＝x²，直线y＝2x＋3所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

【解】　

曲线y＝x²与直线y＝2x＋3的交点为A(－1，1)，B(3，9)，则它们所围成的平面图形如图中阴影部分所示.

所以所得旋转体的体积V等于直线y＝2x＋3，x＝－1，x＝3与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(记为V₁)减去曲线y＝x²，直线x＝－1，x＝3与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(记为V₂).

又V₁＝π(2x＋3)²dx＝π(4x²＋12x＋9)dx＝π·x3＋6x2＋9x(4)－1(3)＝3(364)π.

V₂＝π(x²)²dx＝πx⁴dx＝5(π)x⁵－1(3)

＝5(244)π.所以所求旋转体的体积V＝V₁－V₂

＝15(1 088)π.