2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
一、 知识归纳：
1.向量数乘的定义：
2.向量共线（平行）的充要条件：
二、例题精解：
例1．设
是两个不共线的向量,已知
若A、B、D三点共线，求k的值。
三、针对训练：
1．在
中，已知D是AB边上一点，若
，
则
=
2． 在平行四边形ABCD中，
， 
，
为
的中点
则
（用
表示）
平面向量的基本定理及坐标表示
一．知识归纳
1、平面向量的基本定理：如果
、
是同一平面内的两个不共线的向量，那么对该平面内的任一向量
，有且仅有一对实数
、
，使
，则
、
叫做 ．
2、平面向量的坐标运算：
（1） 若
，
，则
= ，
= ．
（2） 若
，
，则
．
（3）若
和实数
，则
．
二．例题精讲
1.在平行四边形
中，
与
交于点
是线段
的中点，
的延长线与
交于点
．若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 如图，平面内有三个向量
、
、
,其中与
与
的夹角
为120°，
与
的夹角为30°,且|
|＝|
|＝1，|
|＝
，
若
＝λ
+μ
（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为 .
三．针对训练
1.已知
点C在线段AB上，且
。
设
，则
= ．
2、若
－
+3
，
4
+2
，
－3
+12
，则向量
写成
的形式是 ．
3.在平行四边形
中，
与
交于点
是线段
的中点，
的延长线与
交于点
．若
，
，则
（ ）
2.3.4平面向量共线的坐标表示
一、知识归纳：
∥
(
¹
)的充要条件是 ．
例题选讲：
例1、若向量
与
，且
，求
例2、已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，是判断A,B,C三点之间的位置关系
三、针对训练：
1、若
=(2，3)，
=(4，-1+y)，且
∥
，则y=（ ）
A、6 B、5 C、7 D、8
2、已知
=(1，2)，
=(x，1)，若
+2
与2
-
平行，则x的值为 ．
8、已知三点A（0，8），B（-4，0），C（5，-3），D点内分AB的比为1：3，E在BC上，且DE∥AC，求点E的坐标．
2.4.1 平面向量数量积
一、 知识归纳：
1.非零向量
，
的夹角：
2.非零向量
，
的数量积（内积）：
3.两向量垂直的条件：
4.非零向量
，
的数量积的几何意义：
5.向量数量积的运算律：
二、例题精解：
例1. 已知
，
（1） 若
，
的夹角为
，求a
b，
。
（2） 若a
b =
，求
，
的夹角
。
例2. 在四边形ABCD中，已知
=4, 
=3,
,求：
（1）
（2）
（3）
例3. 已知｜a｜＝３，｜b｜＝６，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，
分别求a
b
三、针对训练：
1.已知
，
，当（1）a∥b ；（2）
；（3）
的夹角为
时，分别求a
b
2. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝8，a与b的夹角是30°时，求（a-4 b）
（a+2 b）。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
一．知识归纳：
1. 
，则
。
2.向量的模：
（1）①若
，则
，或
；②如果表示向量
的有向线段的起点和终点的坐标分别为
，那么
，
。
（2）设
，则
。
3.向量的夹角：设
都是非零向量，
，
是
与
的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得
。
二．例题精讲：
例1、（1）已知
，求
，
，
及
的值。
（2）设
，求
、
间的夹角
余弦值。
例2.设
是两个单位向量，其夹角是
，求向量
与
的夹角。
例3.已知
=5，
=4，且
与
的夹角为
。（1）求
的值。（2）当且仅当k为何值是，向量
与
垂直？
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