第II卷(共105分)
二、填空题：本大题共6道小题，每小题5分，共30分。
10.函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的导函数为 。
11.在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝，BC＝3，则sin∠BAC＝ 。
12.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查。已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则从四年级本科生中抽取的人数比一年级本科生中抽取的人数多 名学生。
13.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门。若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种(用数字作答)。
14.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(底面为正方形，侧棱与底面垂直的棱柱)高为4，体积为16，则这个球的表面积是 。(参考公式：球的表面积S＝4πR2)
15.己知x>0，y>0，且，若x＋2y≥m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围 。
三、解答题：本大题共5道小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分14分)
已知函数。
(I)求f(x)的单调区间；
(II)若f(a＋2)<f(a2)(a∈R)，求a的取值范围。
17.(本小题满分14分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。8csinA＝atanC。
(I)求cosC；
(II)若，且a＋b＝9，求c。
18.(本小题满分15分)
己知甲盒内有大小相同的1个红球和2个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和3个黑球。现从甲、乙两个盒内各任取2个球。
(I)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
(II)设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望。
19.(本小题满分16分)
如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点。

(I)证明：AE⊥PD；
(II)设AB＝PA＝2，
①求异面直线PB与AD所成角的正弦值；
②求二面角E－AF－C的余弦值。
20.(本小题满分16分)
已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列。
(I)求{an}的通项公式；
(II)令，求数列{bn}的前n项和Tn。














天津市部分区2019～2020学年度第一学期期中练习
高三数学参考答案
一．选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D A C B B D D C A
二．填空题：
10． 11． 12．30 13．30 14． 15．
三．解答题：
16．解：（Ⅰ）定义域为 .1分
4分

即单调递减区间为 7分
（Ⅱ） 等价于， ..11分
解不等式组得. ..14分

17．解：（Ⅰ）由正弦定理得， 3分
化简得 ..5分
（Ⅱ），
，
． ..7分
又
．
． 10分
．
． .14分
18．解：（Ⅰ）设“取出的4个球中恰有1个红球”为事件，
..5分
（Ⅱ）解：可能的取值为． 6分
， .8分
由（Ⅰ），
， ..10分
. ..12分
的分布列为
0 1 2 3

13分
的数学期望．. ..15分
19．解：（Ⅰ）证明：由四边形为菱形，，
可得为正三角形.
因为为的中点，所以.
又 ，因此.
因为，，
所以. ..2分
而，且，
所以，又.
所以 . ..5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以，，，，，，，
①①,. 6分
∴,9分
设异面直线与所成角为，∴ 10分
②
设平面的一法向量为
则 因此
取 .12分
因为，，，
所以 ，
故 为平面的一法向量. .13分
又 =（-），
所以 = ..15分
因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为.16分
20．解：（Ⅰ）
4分
解得. ..6分
（Ⅱ），10分
当为偶数时

..12分


..14分
． 16分