考点(一) 简单的逻辑联结词
p q p∧q p∨q †p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真
【基本知识通关】
命题p∧q、p∨q、p的真假判定
简记为“p∧q两真才真，一假则假；p∨q一真则真，两假才假； p与p真假相反”．
Tips：判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤
(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．
(2)判断命题真假的步骤
【知识应用通关】
1.已知命题p：若a>|b|，则a2>b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是( )
A．“p∨q”为真命题 B．“p∧q”为真命题
C．“p”为真命题 D．“q”为假命题
【答案】A
【解析】由a>|b|≥0，得a2>b2，∴命题p为真命题．∵x2＝4⇔x＝±2，∴命题q为假命题．∴“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，“p”为假命题，“q”为真命题．
2.已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b.下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧q
C．p∧q D．p∧q
【答案】B
3.已知命题p：函数y＝(c－1)x＋1在R上单调递增；命题q：不等式x2－x＋c≤0的解集是∅.若p且q为真命题，则实数c的取值范围是________． 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃ 名称 形式 全称命题 特称命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 否定 ∃x0∈M，†p(x0) ∀x∈M，†p(x)
【答案】(1，＋∞)
【解析】要使函数y＝(c－1)x＋1在R上单调递增，则c－1>0，解得c>1.所以p：c>1.因为不等式x2－x＋c≤0的解集是∅，所以判别式Δ＝1－4c<0，解得c>1/4，即q：c>1/4.因为p且q为真命题，所以p，q同为真，即c>1/4且c>1.
解得c>1.所以实数c的取值范围是(1，＋∞)．
4.设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；命题q：不等式2x2＋x>2＋ax在x∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为________．
【答案】[1,2]
【解析】对于命题p：Δ<0且a>0，故a>2；对于命题q：a>2x－2/x＋1在x∈(－∞，－1)上恒成立，又函数y＝2x－2/x＋1为增函数，所以{2x－2/x＋1}<1，故a≥1.命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，等价于p，q一真一假，即a>2,a<1或a≤2,a≥1故1≤a≤2.
考点(二) 全称量词与存在量词
【基本知识通关】
1．全称量词和存在量词
2.全称命题和特称命题
Tips：对全(特)称命题进行否定的方法
(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；
(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．
[提醒] 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．
【知识应用通关】
1.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x² B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x²
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x² D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x²
【答案】D
【解析】原命题是全称命题，其否定应为特称命题．其否定形式应为∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x².
5.已知命题p：∀x∈R，x2＋ax＋a2≥0；命题q：∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨q
C．(p)∨q D．(p)∧(q)
【答案】B
【解析】因为x²＋ax＋a²＝【x+a/2】²＋3/4a²≥0，所以命题p为真命题；因为(sin x＋cos x)max＝√2，所以命题q为假命题．所以p∨q是真命题．
6.下列命题中为假命题的是( )
A．∀x∈R，ex>0 B．∀x∈N，x²>0
C．∃Xo∈R，ln Xo<1 D．∃x0∈N*，sin(πXo)/2＝1
【答案】B
【解析】对于选项A，由函数y＝ex的图象可知，∀x∈R，ex>0，故选项A为真命题；对于选项B，当x＝0时，x2＝0，故选项B为假命题；对于选项C，当x0＝1/e时，ln1/e＝－1<1，故选项C为真命题；对于选项D，当x0＝1时，sinπ/2＝1，故选项D为真命题．
7．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则p为( )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
【答案】C
【解析】因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.
8.已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧q
C．p∧q D．p∧q
【答案】B
【解析】容易判断当x≤0时2x≥3x，命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图象，易知命题q为真命题．根据真值表易判断p∧q为真命题．
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