多维层次练44
[A级　基础巩固]
1．(2019·北京海淀区模拟)过点(2，1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是(　　)
A．x＝2   B．y＝1 
C．x＝1   D．y＝2
解析：因为直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为，依题意，所求直线的倾斜角为－＝，
所以斜率不存在，所以过点(2，1)的直线方程为x＝2.
答案：A
2．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)

解析：当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.选项B符合．
答案：B
3.图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)

A．k1<k2<k3
B．k3<k1<k2
C．k3<k2<k1
D．k1<k3<k2
解析：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D.
答案：D
4．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)
A．第一象限   B．第二象限
C．第三象限   D．第四象限
解析：由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
答案：C
5．直线MN的斜率为2，其中点N(1，－1)，点M在直线y＝x＋1上，则(　　)
A．M(5，7)   B．M(4，5)
C．M(2，1)   D．M(2，3)
解析：设M的坐标为(a，b)，若点M在直线y＝x＋1上，
则有b＝a＋1.①
若直线MN的斜率为2，则有＝2.②
联立①②可得a＝4，b＝5，
即M的坐标为(4，5)．
答案：B
7．过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有(　　)
A．1条   B．2条 
C．3条   D．4条
解析：①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时，
设该直线的方程为x＋y＝a，
把(3，－1)代入所设的方程得a＝2，
则所求直线的方程为x＋y＝2，即x＋y－2＝0；
②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，
设该直线的方程为y＝kx，
把(3，－1)代入所设的方程得k＝－，
则所求直线的方程为y＝－x，即x＋3y＝0.
综上，所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋3y＝0.
答案：B
8．已知过定点P(2，0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到****值时，直线l的倾斜角为(　　)
A．150°   B．135° 
C．120°   D．不存在
解析：由y＝，得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图象如图所示．

显然直线l的斜率存在，
设过点P(2，0)的直线l为y＝k(x－2)，
则圆心到此直线的距离d＝，
弦长|AB|＝2＝2 ，
所以S△AOB＝××2 ≤＝1，
当且仅当(2k)2＝2－2k2，即k2＝时等号成立，
由图可得k＝－，
故直线l的倾斜角为150°.
答案：A
9．已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．
解析：BC边的中点坐标为，所以BC边上中线所在的直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.
答案：x＋13y＋5＝0
10．不论实数m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点________．
解析：直线mx－y＋2m＋1＝0可化为m(x＋2)＋(－y＋1)＝0，因为m∈R，所以所以x＝－2，y＝1，
所以直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点(－2，1)．
答案：(－2，1)
11．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．

解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，
如图所示，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和****值，
所以b的取值范围是[－2，2]．
答案：[－2，2]
12.如图所示，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)，则直线AP斜率的取值范围是________．

解析：设P(x，x2)，直线AP的斜率为k，则k＝＝x－.因为－<x<，所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1)．
答案：(－1，1)
[B级　能力提升]
13．已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f ＝f ，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　)
A.   B. 
C.   D.
解析：由f ＝f 知函数f(x)的图象关于x＝对称，所以f(0)＝f ，所以a＝－b，由直线ax－by＋c＝0知其斜率为k＝＝－1，所以直线的倾斜角为，故选D.
答案：D
14．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②若k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；
④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充要条件是k与b都是有理数；
⑤存在恰经过一个整点的直线．
解析：对于①，比如直线y＝x＋，当x取整数时，y始终是一个无理数，即直线y＝x＋既不与坐标轴平行又不经过任何整点，①正确；对于②，直线y＝x－中k与b都是无理数，但直线经过整点(1，0)，②错误；对于③，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点，③正确；对于④，当k＝0，b＝时，直线y＝不经过任何整点，④错误；对于⑤，比如直线y＝x－只经过一个整点(1，0)，⑤正确．故答案为①③⑤.
答案：①③⑤
15.如图所示，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．

解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得

解得m＝，所以A＝(，)．
又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
[C级　素养升华]
16．(多选题)关于直线的倾斜角和斜率，下列说法不正确的是(　　)
A．任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率
B．平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180°
C．两条直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等
D．若A(1，－3)，B(1，3)，则直线AB的倾斜角为90°
解析：选项A中，与x轴垂直的直线的倾斜角为90°，但斜率不存在；选项B中，平行于x轴的直线的倾斜角为0°；选项C中，如果两条直线的倾斜角都是90°，那么这两条直线的斜率不存在；选项D中，直线AB与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，正确．
答案：ABC
素养培育数形结合——斜率公式的应用(自主阅读)
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.对所给的数学表达式适当变形，化成其直线斜率的形式，利用数形结合来解决问题，是斜率公式的一个应用．
1．比较大小
对于函数f(x)图象上的两点(a，f(a))，(b，f(b))，比较与的大小时，可转化为这两点与原点连线的斜率来比较大小．
[典例1]　已知函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系为________．
解析：作出函数f(x)＝log2(x＋1)的大致图象，如图所示，可知当x>0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0，所以<<.

答案：<<
2．求最值
对于求形如k＝，y＝的最值问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直线斜率的范围，借助数形结合进行求解．
[典例2]　已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的****值和最小值．

解：如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象——曲线段AB，则表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接PA，PB，则kPA≤k≤kPB.
易得A(1，1)，B(－1，5)，所以kPA＝＝，kPB＝＝8，所以≤k≤8，故的****值是8，最小值是.
3．证明不等式
根据所证不等式的特点，寻找与斜率公式有关的信息，从而转变思维角度，构造直线斜率解题，这也是解题中思维迁移的一大技巧，可取得意想不到的效果．
[典例3]　已知a，b，m∈(0，＋∞)，且a<b，求证：
>.
证明：如图，设点P，M的坐标分别为(b，a)，(－m，－m)．
因为0<a<b，所以点P在第一象限，且位于直线y＝x的下方．

又m>0，所以点M在第三象限，且在直线y＝x上．
连接OP，PM，则kOP＝，
kMP＝.
因为直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角，且两条直线的倾斜角都是锐角，所以kMP>kOP，即>.