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艺术生文化课补习名校-远飞学校-多维层次训练46
发布人:管理员 时间:2020-12-14

多维层次练46
[A级 基础巩固]
1.已知圆C:(x-6)2+(y-8)2=4,O为坐标原点,则以OC为直径的圆的方程为(  )
A.(x-3)2+(y+4)2=100
B.(x+3)2+(y-4)2=100
C.(x-3)2+(y-4)2=25
D.(x+3)2+(y-4)2=25
解析:圆C的圆心坐标为C(6,8),
则OC的中点坐标为E(3,4),
则所求圆的半径|OE|=Ö3+Ö4=5,
则以OC为直径的圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25.
故选C.
答案:C
2.(2020·青岛实验高中测试)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是(  )
A.a<-2   B.-<a<0
C.-2<a<0   D.-2<a<
解析:方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,
所以a2+4a2-4(2a2+a-1)>0,
所以3a2+4a-4<0,
所以(a+2)(3a-2)<0,所以-2<a<.
答案:D
3.平面内动点P到两点A、B距离之比为常数λ(λ>0,且λ≠1),则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆,若已知A(-2,0),B(2,0),λ=,则此阿波罗尼斯圆的方程为(  )
A.x2+y2-12x+4=0   B.x2+y2+12x+4=0
C.x2+y2-x+4=0   D.x2+y2+x+4=0
解析:由题意,设P(x,y),则=,
化简可得x2+y2+x+4=0,故选D.
答案:D
4.(2020·青岛实验高中测试)圆心为(2,-1)的圆,在直线x-y-1=0上截得的弦长为2,那么,这个圆的方程为(  )
A.(x-2)2+(y+1)2=4 B.(x-2)2+(y+1)2=2
C.(x+2)2+(y-1)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=2
解析:因为圆心到直线x-y-1=0的距离d==,弦长为2,
所以圆的半径r==2,
则圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.
答案:A
5.(2020·聊城模拟)圆x2+y2-6x-2y+3=0的圆心到直线x+ay-1=0的距离为1,则a=(  )
A.-   B.- 
C.   D.2
解析:圆x2+y2-6x-2y+3=0,即(x-3)2+(y-1)2=7,圆心(3,1)到直线x+ay-1=0的距离d==1,所以a=-.
答案:B
6.(2020·滨州市期末)已知圆的方程为x2+y2-6x=0,过点P(1,2)的该圆的所有弦中,最短弦的长为(  )
A.   B.1 
C.2   D.4
解析:由x2+y2-6x=0,得(x-3)2+y2=9,
所以圆心坐标为(3,0),半径为3.如图所示,

当过点P(1,2)的直线与连接P与圆心的直线垂直时,弦AB最短,
则最短弦长为2=2.
答案:C
7.圆心在直线x=2上的圆与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则该圆的标准方程为________________.
解析:由已知,得圆心的纵坐标为=-3,
所以圆心为(2,-3),
则半径r==,
故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=5.
答案:(x-2)2+(y+3)2=5
8.已知点A(2,0),B(0,2),则以线段AB为直径的圆的方程是________.
解析:AB的中点为,即(1,1).所以圆心为(1,1).因为|AB|=2,所以圆的半径为.所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
答案:(x-1)2+(y-1)2=2
9.(一题多解)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为________.
解析:法一 根据题意画出图形,如图所示,结合图形知经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆,其圆心为(1,0),半径为1,则该圆的方程为(x-1)2+y2=1.

法二 设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

解得D=-2,E=F=0;
所以所求圆的方程为x2+y2-2x=0.
答案:(x-1)2+y2=1(或x2+y2-2x=0)
10.(2019·衡水中学调研)已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:
(1)(一题多解)直角顶点C的轨迹方程;
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
解:(1)法一 设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,
所以y≠0.
因为AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1,又kAC=,kBC=,
所以·=-1,
化简得x2+y2-2x-3=0.
因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).
法二 设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).
所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).


(2)设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式得x=,y=,所以x0=2x-3,y0=2y.
由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0),
将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,
即(x-2)2+y2=1.
因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).
[B级 能力提升]
11.(2020·广州市期中)圆x2+y2-2x+4y-3=0上到直线x+y+3=0的距离为的点的个数为(  )
A.1   B.2 
C.3   D.4
解析:圆x2+y2-2x+4y-3=0即(x-1)2+(y+2)2=8,
表示以C(1,-2)为圆心,以2为半径的圆.
圆心到直线x+y+3=0的距离为d===,
故圆x2+y2-2x+4y-3=0上到直线x+y+3=0的距离为的点共有4个.
答案:D
12.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径****的圆的标准方程为________.
解析:直线mx-y-2m-1=0经过定点(2,-1).
当圆与直线相切于点(2,-1)时,圆的半径****,此时半径r满足
r2=(1-2)2+(0+1)2=2.
此时圆的方程为(x-1)2+y2=2.
答案:(x-1)2+y2=2
13.(2020·聊城市期中)已知曲线方程为:x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)若此曲线是圆,求m的取值范围;
(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O是坐标原点),求m的值.
解:(1)曲线方程为:x2+y2-2x-4y+m=0.
整理得:(x-1)2+(y-2)2=5-m,
因为此曲线是圆,
所以5-m>0,解得m<5.
即m的取值范围是(-∞,5).
(2)设直线x+2y-4=0与圆:x2+y2-2x-4y+m=0的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).

整理得:5y2-16y+8+m=0,
Δ=162-20(8+m)>0,得m<.
则y1+y2=,y1y2=,
由OM⊥ON(O为坐标原点),则:x1x2+y1y2=0,
x1=4-2y1,x2=4-2y2,
则(4-2y1)(4-2y2)+y1y2=5y1y2-8(y1+y2)+16=0.
解得m=,符合,
故m的值为.
[C级 素养升华]
14.(2020·三环高中月考)过动点P作圆:(x-3)2+(y-4)2=1的切线PQ,其中Q为切点,若|PQ|=|PO|(O为坐标原点),则|PQ|的最小值是________.
解析:根据题意,设P的坐标为(m,n),圆(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为N,则N(3,4),
PQ为圆(x-3)2+(y-4)2=1的切线,则有|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1,
又由|PQ|=|PO|,
则有|PN|2=|PO|2+1,

即(m-3)2+(n-4)2=m2+n2+1,
整理可得6m+8n=24,
即P在直线6x+8y=24上,
则|PQ|的最小值即点O到直线6x+8y=24的距离,
且d=12/5,
即|PQ|的最小值是.
答案:


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