多维层次练45
[A级　基础巩固]
1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　　 B．垂直
C．相交但不垂直   D．不能确定
解析：直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C.
答案：C
2．若m∈R，则“log6m＝－1”是“直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由log6m＝－1得m＝，若l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则直线斜率相等或斜率不存在，解得m＝0或m＝，则“log6m＝－1”是“直线l1：x＋2my－1＝0，与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的充分不必要条件．
答案：A
3．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点(　　)
A．(0，4)   B．(0，2)
C．(－2，4)   D．(4，－2)
解析：由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，所以直线l2恒过定点(0，2)．
答案：B
4．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为(　　)
A.  4Ö2/3 B．4Ö2
C.  8Ö2/3 D．2Ö2
解析：因为l1∥l2，所以a≠2且a≠0，
所以＝≠，解得a＝－1，
所以l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，
所以l1与l2的距离d＝＝.
答案：C
5．(2020·青岛市模拟)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　)
A.   B.
C.   D.
解析：设三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0分别为直线l1，l2，l3，
依照题意易得直线l1与直线l2不平行，设交点为P，
因为三条直线不能围成一个三角形，
所以l3与l1平行，或l3与l2平行，或l1，l2，l3交于一点P.
(1)两条直线存在平行，
若l1∥l3，此时m＝，
若l2∥l3，此时m＝－.
(2)三线共点时也不能围成一个三角形，
由解得即交点P为，
代入mx－y－1＝0，则m＝－.
所以实数m的取值集合为.
答案：D
6．(2020·济南德润中学月考)已知直线l1：x·sin α＋y－1＝0，直线l2：x－3y·cos α＋1＝0，若l1⊥l2，则sin 2α＝(　　)
A.   B．±
C．－   D.
解析：因为l1⊥l2，所以sin α－3cos α＝0，
所以tan α＝3，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝.
答案：D
7．(2020·孝昌一中月考)过直线x＋y－3＝0和2x－y＝0的交点，且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线方程是(　　)
A．4x＋2y－3＝0   B．4x－2y＋3＝0
C．x＋2y－3＝0   D．x－2y＋3＝0
解析：由题意得：
解得所以两直线的交点为(1，2)．
直线2x＋y－5＝0的斜率是－2，故其垂线的斜率是，
所以所求方程是y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.
答案：D
8．(2020·郴州模拟)若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是Ö5，则m＋n＝(　　)
A．0   B．1 
C．－2   D．－1
解析：由题意＝，解得n＝－4，即直线l2：x－2y－3＝0，
所以两直线之间的距离为d＝＝，解得m＝2，
所以m＋n＝－2.
答案：C
9．(2019·唐山模拟)若直线l与直线2x－y－2＝0关于直线x＋y－4＝0对称，则l的方程是______________________________．
解析：由得
即两直线的交点坐标为(2，2)，
在直线2x－y－2＝0上取一点A(1，0)，
设点A关于直线x＋y－4＝0的对称点的坐标为(a，b)．
则即解得
即对称点的坐标为(4，3)，
则l的方程为＝，
整理得x－2y＋2＝0.
答案：x－2y＋2＝0
10．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
解析：由题意知＝≠，所以m＝8，
所以直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，
所以两平行线之间的距离d＝＝2.
答案：2
11．l1，l2是分别经过点A(1，1)，B(0，－1)的两条平行直线，当l1与l2间的距离****时，直线l1的方程是________________．
解析：当AB⊥l1时，两直线l1与l2间的距离****，
由kAB＝＝2，知l1的斜率k＝－.
所以直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
12．(2020·福州市期末)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x＋4y＝0垂直，则实数a＝________．
解析：由f(x)＝ax3＋x＋1，得f′(x)＝3ax2＋1，
所以f′(1)＝3a＋1，即f(x)在x＝1处的切线的斜率为3a＋1，
因为f(x)在x＝1处的切线与直线x＋4y＝0垂直，
所以3a＋1＝4，即a＝1.
答案：1
[B级　能力提升]
13．(2020·六安市月考)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是(　　)
A．[Ö5，2Ö5]   B．[Ö10，2Ö5]
C．[Ö10，4Ö5]   D．[2Ö5，4Ö5]
解析：由题意可知，动直线x＋my＝0经过定点A(0，0)，动直线mx－y－m＋3＝0即m(x－1)－y＋3＝0，经过点定点B(1，3)，
因为动直线x＋my＝0和动直线mx－y－m＋3＝0的斜率之积为－1，始终垂直，
P又是两条直线的交点，所以PA⊥PB，
所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.
设∠ABP＝θ，则|PA|＝sin θ，|PB|＝cos θ，
由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈，
所以|PA|＋|PB|＝(sin θ＋cos θ)＝2sin，
因为θ∈，所以θ＋∈，
所以sin∈，
所以2sin∈[，2 ]．
答案：B
14．以点A(4，1)，B(1，5)，C(－3，2)，D(0，－2)为顶点的四边形ABCD的面积为________．
解析：因为kAB＝＝－，
kDC＝＝－.
kAD＝＝，kBC＝＝.
则kAB＝kDC，kAD＝kBC，所以四边形ABCD为平行四边形．
又kAD·kAB＝－1，即AD⊥AB，
故四边形ABCD为矩形．
故S＝|AB|·|AD|＝×
＝25.
答案：25
15．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解：(1)因为l1⊥l2，所以a(a－1)－b＝0，①
又因为直线l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝2.
(2)因为直线l2的斜率存在，l1∥l2，
所以直线l1的斜率存在．
所以k1＝k2，即＝1－a.
又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，
所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，
即＝b.
联立
解得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
[C级　素养升华]
16．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．
解析：设P，x0>0，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥4.
当且仅当x0＝，即x0＝时取“＝”．
故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4.
答案：4