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高考数学辅导：热点2

发布人：张洋　时间：2015-9-16

题型1　正确理解和运用集合概念

例1　已知集合A＝{x|ax²－3x＋2＝0，a∈R}．

(1) 若A是空集，求a的取值范围；

(2) 若A中只有一个元素，求a的值，并将这个元素写出来；

(3) 若A中至多有一个元素，求a的取值范围．

解： (1) 若A是空集，则Δ＝9－8a＜0，解得a＞.

(2) 若A中只有一个元素，则Δ＝9－8a＝0或a＝0，解得a＝或a＝0；当a＝时这个元素是；当a＝0时，这个元素是.

(3) 由(1)(2)知，当A中至多有一个元素时，a的取值范围是a≥或a＝0.

已知a≤1时，集合[a，2－a]中有且只有3个整数，则a的取值范围是________．

答案：－1<a≤0

解析：因为a≤1，所以2－a≥1，所以1必在集合中．若区间端点均为整数，则a＝0，集合中有0，1，2三个整数，所以a＝0适合题意；若区间端点不为整数，则区间长度2<2－2a<4，解得－1<a<0，此时，集合中有0，1，2三个整数，－1<a<0适合题意．综上，a的取值范围是－1<a≤0.

设集合M＝，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则M________N.

答案：真包含于

题型2　集合元素的互异性

例2　已知a、b∈R，集合A＝{a，a＋b，1}，B＝，且AB，BA，求a－b的值．

解：∵ AB，BA，∴ A＝B.

∵ a≠0，∴ a＋b＝0，即a＝－b，∴ ＝－1，

∴ b＝1，a＝－1，∴ a－b＝－2.

已知集合A＝{a，a＋b, a＋2b}，B＝{a，ac, ac²}．若A＝B，则c＝________．

答案：－

解析：分两种情况进行讨论．

① 若a＋b＝ac且a＋2b＝ac²，消去b得a＋ac²－2ac＝0.

当a＝0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0.∴ c²－2c＋1＝0，即c＝1.但c＝1时，B中的三元素又相同，此时无解．

② 若a＋b＝ac²且a＋2b＝ac，消去b得2ac²－ac－a＝0.

∵ a≠0，∴ 2c²－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0.

又c≠1，故c＝－.

集合A＝，集合B＝{a²，a＋b，0}，若A＝B，求a^{2 013}＋b^{2 014}的值．

解：由于a≠0，由＝0，得b＝0，则A＝{a，0，1}，B＝{a²，a，0}．

由A＝B，可得a²＝1.又a²≠a，则a≠1，则a＝－1.

所以a^{2 013}＋b^{2 014}＝－1.

题型3　根据集合的含义求参数范围

例3　集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．　

(1) 若BA，求实数m的取值范围；

(2) 当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．

解：(1) 当m＋1＞2m－1即m＜2时，B＝满足BA；

当m＋1≤2m－1即m≥2时，要使BA成立，则解得2≤m≤3.

综上所述，当m≤3时有BA.

(2) 因为x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，则

① 若B＝，即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件；

② 若B≠，则要满足条件解得m＞4.

或无解．

综上所述，实数m的取值范围为m＜2或m＞4.

已知集合A＝{y|y＝－2^x，x∈[2，3]}，B＝{x|x²＋3x－a²－3a>0}．若AB，求实数a的取值范围．

解：由题意有A＝[－8，－4]，B＝{x|(x－a)(x＋a＋3)>0}．

① 当a＝－时，B＝，所以AB恒成立；

② 当a<－时，B＝{x|x<a或x>－a－3}．因为AB，所以a>－4或－a－3<－8，解得a>－4或a>5(舍去)，所以－4<a<－；

③ 当a>－时，B＝{x|x<－a－3或x>a}．因为AB，所以－a－3>－4或a<－8(舍去)，解得－<a<1.

综上，当AB时，实数a的取值范围是(－4，1)．

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