1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的一元二次函数.

2.二次函数的性质

(1)抛物线的顶点是原点，对称轴是轴.

(2)函数的图像与的符号关系：

①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其****点

3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.

4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.

5.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①决定抛物线的开口方向：

当时，开口向上；当时，开口向下；越小，抛物线的开口越大，越大，抛物线的开口越小。

②对称轴为平行于轴(或重合)的直线，记作.特别地，轴记作直线.

③定点是抛物线的最值点，坐标为(,)。

6.求抛物线的顶点、对称轴的方法

(1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.

(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★

7.抛物线中，的作用

(1)决定开口方向及开口大小，这与中的****一样.

(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：

①时，对称轴为轴；②时,对称轴在轴左侧；③时,对称轴在轴右侧.

(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.

当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：

① ，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .

8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①；②；③；④；⑤.

图像特征如下：