考点：

幂函数的性质；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．菁优网版权所有

专题：

综合题．

分析：

将函数中的x换为﹣x，判断f（﹣x）与f（x）的关系证出奇函数；求出导函数，判断导函数的符号，判断出递增函数．

解答：

证明：设f（x）=x3

∴f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x）

∴f（x）是奇函数，

对于f（x）=x3，其定义域为R，

设x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=x13﹣x23=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）＜0；

∴f（x）在R是递增函数

∴幂函数y=x3是R上的奇函数且为增函数

点评：

本题考查奇函数的定义、考查利用导函数的符号判断函数的单调性．

考点：

对数函数的图像与性质．菁优网版权所有

专题：

计算题；作图题．

分析：

因为f（x）=|log3x|=，故只需作出y=log3x的图象，保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即可．由图象可对f（x）＞f（2）直接求解．

解答：

解：因为f（x）=|log3x|=，

图象如图所示：

f（x）＞f（2）⇔|log3x|＞log32

⇔log3x＞log32或log3x＜﹣log32

⇔x＞2或0＜x＜

点评：

本题考查含有****值函数的图象的做法、函数的对称变换、解不等式等知识．

考点：

幂函数的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断．菁优网版权所有

专题：

计算题；数形结合；待定系数法．

分析：

（1）设出函数表达式，代入点的坐标，即可求出两个函数的解析式；

（2）求出f（x）的定义域，判断函数f（x）的奇偶性；g（x）的奇偶性容易得到． 

（3）求出函数f（x）＜g（x）的表达式，结合幂函数f（x）与g（x）的图象，求函数f（x）＜g（x）的解集．

解答：

解：（1）设幂函数f（x）=xa与g（x）=xb；

幂函数f（x）与g（x）分别过点（3，）、（﹣8，﹣2）

所以：=3a，﹣2=（﹣8）b；

∴a=，b=

∴两个函数的解析式：f（x）=与g（x）=；

（2）f（x）=的定义域是x≥0，

所以它是非奇非偶函数；g（x）=因为g（﹣x）=﹣g（x），

所以是奇函数；

（3）因为函数f（x）＜g（x），所以 （x≥0）

当1＞x＞0时，成立；

当x＞1时，不成立；

所以不等式的解集为：{x|1＞x＞0}

点评：

本题考查幂函数的性质，待定系数法求函数解析式，函数奇偶性的判断，考查计算能力，是基础题．

考点：

函数奇偶性的判断；幂函数的性质．菁优网版权所有

专题：

证明题．

分析：

先化简题目中的等式，分n为奇数和n为偶数2种情况讨论，最后确定n一定为偶数，从而得出幂函数f（x）=xn（n∈Z）是个偶函数．

解答：

解：由题意得：（1n）2+（（﹣1）n）2=2，2=2①，

当n为奇数时，①不成立，当n为偶数时，①恒成立，故n一定为偶数，

∴幂函数f（x）=xn（n∈Z）是个偶函数．

点评：

本题考查幂函数的性质、以及函数奇偶性的判断．