一、选择题

1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n²＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)

A．k²＋1

B．(k＋1)²

C.

D．(k²＋1)＋(k²＋2)＋…＋(k＋1)²

[解析]　当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k².

当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k²＋(k²＋1)＋(k²＋2)＋…＋(k＋1)²，

故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k²＋1)＋(k²＋2)＋…＋(k＋1)².

[答案]　D

2．(2015·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N_＋)成立，其初始值至少应取(　　)

A．7　　　　　　　　　　                      B．8

C．9                                                         D．10

[解析]　1＋＋＋…＋＝>，整理得2ⁿ>128，解得n>7，所以初始值至少应取8.

[答案]　B

3．用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2ⁿ·1·3·…·(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为(　　)

A．2k＋1                                                  B．2(2k＋1)

C.                                                    D.

[解析]　n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)·…·[(k＋1)＋(k－1)][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)[2(2k＋1)]，∴应乘2(2k＋1)．

[答案]　B

4．对于不等式<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：

(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N_＋)时，不等式成立，即<k＋1，则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，

∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)

A．过程全部正确

B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

[解析]　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．

[答案]　D

5．(2015·上海模拟)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为(　　)

A．n＋1                                                   B．2n

C.                                                D．n²＋n＋1

[解析]　1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．

[答案]　C

6．(2015·南宁模拟)已知f(n)＝(2n＋7)·3ⁿ＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，f(n)都能被m整除，则m的****值为(　　)

A．18                                                       B．36

C．48                                                       D．54

[解析]　由于f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，即m的****值为36.当n＝1时，可知猜想成立．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，猜想成立，即f(k)＝(2k＋7)·3^k＋9能被36整除；当n＝k＋1时， f(k＋1)＝(2k＋9)·3^k＋1＋9＝(2k＋7)·3^k＋9＋36(k＋5)·3^k－2，因此f(k＋1)也能被36整除，故所求m的****值为36.

[答案]　B