7．用数学归纳法证明“2^n＋1≥n²＋n＋2(n∈N_＋)”时，第一步验证为________．

[解析]　由n∈N_＋可知初始值为1.

[答案]　当n＝1时，左边＝4≥右边，不等式成立

8．(2015·徐州模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xⁿ＋yⁿ能被x＋y整除”，当第二步假设n＝k(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．

[解析]　n为正奇数，假设n＝k成立后，需证明的应为n＝k＋2时成立．

[答案]　k＋2

9．若f(n)＝1²＋2²＋3²＋…＋(2n)²，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是__________．

[解析]　∵f(k)＝1²＋2²＋…＋(2k)²，

∴f(k＋1)＝1²＋2²＋…＋(2k)²＋(2k＋1)²＋(2k＋2)²；

∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)²＋(2k＋2)².

[答案]　f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)²＋(2k＋2)²

10．用数学归纳法证明…> (k>1)，则当n＝k＋1时，左端应乘上______________________，这个乘上去的代数式共有因式的个数是__________．

[解析]　因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是，最后一个是，根据等差数列通项公式可求得共有＋1＝2^k－2^k－1＝2^k－1项．

[答案]　…

2^k－1

三、解答题

11．(2015·绵阳一模)已知数列{x_n}满足x₁＝，x_n＋1＝，n∈N*.猜想数列{x_2n}的单调性，并证明你的结论．

[解析]　由x₁＝及x_n＋1＝，

得x₂＝，x₄＝，x₆＝，

由x₂＞x₄＞x_6, 猜想：数列{x_2n}是递减数列．

下面用数学归纳法证明：

(1)当n＝1时，已证命题成立．

(2)假设当n＝k时命题成立，即x_2k＞x_2k＋2，易知x_k＞0，那么x_2k＋2－x_2k＋4＝－

＝

＝＞0，

即x_2(k＋1)＞x_2(k＋1)＋2.

也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．

结合(1)和(2)知命题成立．

12．(2015·长沙模拟)设数列{a_n}满足a₁＝3，a_n＋1＝a－2na_n＋2(n＝1,2,3，…)．

(1)求a₂，a₃，a₄的值，并猜想数列{a_n}的通项公式(不需证明)．

(2)记S_n为数列{a_n}的前n项和，试求使得S_n<2ⁿ成立的最小正整数n，并给出证明．

(1)解：a₂＝a－2a₁＋2＝5，a₃＝a－2×2a₂＋2＝7，a₄＝a－2×3a₃＋2＝9，

猜想a_n＝2n＋1(n∈N_＋)．

(2)证明：S_n＝＝n²＋2n(n∈N_＋)，

使得S_n<2ⁿ成立的最小正整数n＝6.

下证：当n≥6(n∈N_＋)时都有2ⁿ>n²＋2n.

①当n＝6时，2⁶＝64,6²＋2×6＝48,64>48，命题成立．

②假设n＝k(k≥6，k∈N_＋)时，2^k>k²＋2k成立，那么2^k＋1＝2·2^k>2(k²＋2k)

＝k²＋2k＋k²＋2k>k²＋2k＋3＋2k＝(k＋1)²＋2(k＋1)，即n＝k＋1时，不等式成立；

由①②可得，对于所有的n≥6(n∈N_＋)

都有2ⁿ>n²＋2n成立．