1．(2014·陕西，15A)设a，b，m，n∈R，且a²＋b²＝5，ma＋nb＝5，则 的最小值为________．

解析　由柯西不等式得(a²＋b²)(m²＋n²)≥(ma＋nb)²，将已知代入得m²＋n²≥5⇒≥.

答案　

2．(2014·江西，15)x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为________．

解析　因为|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1，当且仅当x(x－1)≤0，即0≤x≤1时取等号，|y|＋|y－1|≥|y－(y－1)|＝1，当且仅当y(y－1)≤0，即0≤y≤1时取等号，所以|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥1＋1＝2.又已知|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，所以|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2，0≤x≤1且0≤y≤1，所以0≤x＋y≤2.

答案　[0，2]

3．(2013·陕西，15A)设a，b∈R，|a－b|＞2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|＞2的解集是________．

解析　∵|x－a|＋|x－b|＝|a－x|＋|x－b|≥|(a－x)＋(x－b)|＝|a－b|＞2，∴|x－a|＋|x－b|＞2对x∈R恒成立．故解集为(－∞，＋∞)．

答案　(－∞，＋∞)

4．(2012·陕西，15A)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．

解析　由****值不等式的几何意义可知，数轴上点x到a点与1点的距离的和小于等于3.由图可得－2≤a≤4.]

答案　[－2，4]

5．(2011·陕西，15A)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．

解析　法一　∵|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，

∴使原不等式成立的a的取值范围是a≤3.

法二　|x＋1|＋|x－2|表示数轴上一点A(x)到B(－1)与C(2)的距离之和，而|BC|＝3，

∴|AB|＋|AC|≥3.∴a≤3.

法三　设f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝

∴f(x)的图象如图所示，

∴f(x)≥3.∴a≤3.

答案　(－∞，3]

6．(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：

(1)若ab＞cd，则＋＞＋；

(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．

解　(1)因为(＋)²＝a＋b＋2，(＋)²＝c＋d＋2，

由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(＋)²＞(＋)².

因此＋＞＋.

(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)²＜(c－d)^2, 即(a＋b)²－4ab＜(c＋d)²－4cd.

因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.

由(1)得＋＞＋.

②若＋＞＋，则(＋)²＞(＋)²，即a＋b＋2＞c＋d＋2.

因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是

(a－b)²＝(a＋b)²－4ab＜(c＋d)²－4cd＝(c－d)².

因此|a－b|＜|c－d|.

综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．