7．(2015·江苏，21(D))解不等式 x＋|2x＋3|≥2.

解　原不等式可化为或

解得x≤－5或x≥－.

综上，原不等式的解集是

.

8．(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．

解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.

当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；

当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；

当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.

所以f(x)>1的解集为.

(2)由题设可得，f(x)＝

所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，

△ABC的面积为(a＋1)².

由题设得(a＋1)²>6，故a>2.

所以a的取值范围为(2，＋∞)．

9．(2015·陕西，24)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．

(1)求实数a，b的值；

(2)求＋的****值．

解　(1)由|x＋a|＜b，

得－b－a＜x＜b－a，

则解得a＝－3，b＝1.

(2)＋＝＋

≤

＝2＝4，

当且仅当＝，

即t＝1时等号成立，

故(＋)_max＝4.

10．(2014·新课标全国Ⅰ，24)若a＞0，b＞0，且＋＝.

(1)求a³＋b³的最小值；

(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．

解　(1)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．

故a³＋b³≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．

所以a³＋b³的最小值为4.

(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.

由于4＞6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.

11．(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f(x)＝|x＋|＋|x－a|(a＞0)．

(1)证明：f(x)≥2；

(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．

(1)证明　由a＞0，有f(x)＝|x＋|＋|x－a|≥|x＋－(x－a)|＝＋a≥2.所以f(x)≥2.

(2)解　f(3)＝|3＋|＋|3－a|.

当a＞3时，f(3)＝a＋，

由f(3)＜5得3＜a＜.

当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋，

由f(3)＜5得＜a≤3.

综上，a的取值范围是.

12．(2013·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.

(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；

(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．

解　(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.

设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，

则y＝

从图象可知，当且仅当x∈(0，2)时，y＜0.

所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．

(2)当x∈时，f(x)＝1＋a.

不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.

所以x≥a－2对x∈都成立．

故－≥a－2，即a≤.

从而a的取值范围是.

13．(2013·新课标全国Ⅱ，24)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ca≤；(2)＋＋≥1.

证明　(1)由a²＋b²≥2ab，b²＋c²≥2bc，c²＋a²≥2ca，

得a²＋b²＋c²≥ab＋bc＋ca.

由题设得(a＋b＋c)²＝1，

得a²＋b²＋c²＋2ab＋2bc＋2ca＝1.

所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.

(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，

故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，

即＋＋≥a＋b＋c.

所以＋＋≥1.