1.【题文】某箱子的容积与底面边长x的关系为，则当箱子的容积****时，箱子的底面边长为(　　)

A．30        B．40          C．50 D．35

 

2．【题文】已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为，则使该生产厂家获取****年利润的年产量为(　　)

A．13万件              B．11万件

C．9万件                D．7万件

 

3．【题文】路灯距地平面8 m，一个身高为1.6 m的人以2 m/s的速度在地平面上，从路灯在地平面上的射影点C开始沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速度v为（）

A.m/s           B.m/s        C.m/s  D.m/s

 

4．【题文】现有一段长为18 m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积****时，底面的较短边长是（）

A．1 m     B．1.5 m      C．0.75 m    D．0.5 m

 

5．【题文】某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件，则每件的售价比原来减少1元，则使公司的收益****时应该订购的合同件数是（    ）

A. 150           B. 175           C. 200        D. 225

 

6．【题文】用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，焊接成水箱，则水箱的****容积为(　　)

A．120 000 cm³ B．128 000 cm³

C．150 000 cm³ D．158 000 cm³

 

7．【题文】某产品的销售收入y₁(万元)关于产量x(千台)的函数为y₁＝17x²(x>0)；生产成本y₂(万元)关于产量x(千台)的函数为y₂＝2x³－x²(x>0)，为使利润****，应生产(　　)

A．6千台　　B．7千台　　C．8千台 　D．9千台

 

８．【题文】某工厂需要建一个面积为512 m²的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，要使砌墙所用材料最省，堆料场的长和宽分别为(　　)

A．16 m,16 m B．32 m,16 m

C．32 m,8 m D．16 m,8 m

 

二、填空题

9．【题文】要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm³，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为______，宽为______，高为______时，可使表面积最小．

 

10．【题文】某商品一件的成本为30元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润****，每件定价为_______元．

 

11．【题文】已知某厂生产（百件）某种商品的总成本为（万元），总收益为（万元），则生产这种商品所获利润的****值为__________万元，此时生产这种商品____________百件.

 

三、解答题

12．【题文】已知某厂生产件产品的成本为（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？

（2）若产品以每件元售出，要使利润****，应生产多少件产品？

 

13．【题文】为了美化城市，某市将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，如图所示.要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|＝3米，|AD|＝2米．

（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？

（2）若AN的长度不小于6米，则当AM、AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．

 

14．【题文】某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人.某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人.该兴趣小组想找一个函数来拟合该景点对外开放的第年与当年的游客人数（单位：万人）之间的关系.

（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述函数所具有的性质；

（2）若=，试确定的值，并说明该函数是否符合上述两点预测；

（3）若=，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定的取值范围．

 

人教版选修1-1 课时3.4生活中的优化问题举例

参考答案与解析

一、选择题

1. 

【答案】B

【解析】，x∈(0,60)．令V′(x)＝0，

得x＝40. ∴当x＝40时，箱子的容积有****值．

考点：体积****问题.

【题型】选择题

【难度】较易

2． 

【答案】C

【解析】y′＝－x²＋81，令y′＝0，得x＝9或x＝－9(舍去)．当0<x<9时，y′>0；当x>9时，y′<0，故当x＝9时，函数有极大值，也是****值．

考点：利润****问题.

【题型】选择题

【难度】较易

3． 

【答案】D

【解析】如图，设人从C点运动到B处路程为x m，时间为t s，AB为人影长度，AB长为y m.由于DC∥BE，则，即.

∴y=x=t，∴v=y′=m/s.

考点：速度问题.

【题型】选择题

【难度】较易

4． 

【答案】A

【解析】设长方体底面较短边的长为x m，则较长边的长为2x m，高为=m，它的体积为（其中0＜x＜）.对V求导，并令V′=0，得18x−18x²=0，解得x=0，或x=1.当0＜x＜1时，函数V单调递增，当1＜x＜时，函数V单调递减，所以当x=1时，函数V有****值．因此底面的较短边长是1 m，故选A.

考点：体积****问题.

【题型】选择题

【难度】一般

5． 

【答案】B

【解析】设x表示订购的件数，R表示公司的收益，则R等于每件的售价×订购的件数x，当x≤150时，R＝200x，****收益为200×150=30 000元；当x>150时，R＝200－(x－150)]x＝350x－x²，R′＝350－2x，令R′＝0，得x＝175，当时，，当时，，则当x＝175时，R有****值，****收益为350×175－175²＝30 625元，故选B.

考点：利润****问题.

【题型】选择题

【难度】一般

6． 

【答案】B

【解析】设水箱的高为x cm(0<x<60)，则水箱底面边长为(120－2x)cm，水箱的容积V＝(120－2x)²·x＝(120²－480x＋4x²)·x，∴V′＝12x²－960x＋120×120，令V′＝0，得x＝20或x＝60(舍去)．当0<x<20时，V′>0；当20<x<60时，V′<0.∴当x＝20时，V有****值，且****值为128 000 cm³.

考点：体积****问题.

【题型】选择题

【难度】一般

7． 

【答案】A

【解析】设利润为y万元，则y＝y₁－y₂＝17x²－2x³＋x²＝18x²－2x³(x>0)，y′＝36x－6x²，令y′>0，得0<x<6，令y′<0，得x>6，∴当x＝6时，y取****值，故为使利润****，应生产6千台．

考点：利润****问题.

【题型】选择题

【难度】一般

８． 

【答案】B

【解析】如图所示，设场地垂直于墙的一边长为x m，则其邻边长为m.

因此新墙总长度，.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．可知当x＝16时，L取得最小值，当x＝16时，.故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省．

考点：材料最省问题.

【题型】选择题

【难度】一般

二、填空题

9． 

【答案】6 cm；3 cm；4cm

【解析】设底面相邻两边长分别为x cm、2x cm，高为y cm.

则V＝2x²y＝72，y＝＝，S＝2(2x²＋2xy＋xy)＝4x²＋6xy＝4x²＋.

S′＝8x－，令S′＝0，解得x＝3.

则长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm时，表面积最小.

考点：表面积最小问题.

【题型】填空题

【难度】一般

10． 

【答案】115

【解析】依题意可得利润为L＝(x－30)(200－x)＝－x²＋230x－6 000(0＜x＜200)．

L′＝－2x＋230，令L′＝－2x＋230＝0，解得.

因为在(0,200)内L只有一个极值，所以以每件115元出售时利润****．

考点：利润****问题.

【题型】填空题

【难度】一般

11． 

【答案】66；9

【解析】设利润为（万元），

则，

∴，由得，

∴时，单调递增，时，单调递减，∴时，有****值

考点：利润****问题.

【题型】填空题

【难度】一般

三、解答题

12． 

【答案】（1）件（2）件

【解析】（1）设平均每件的成本为元，

则，∴.令，得或（舍去），可知当时，函数取得极小值且为最小值，所以要使平均成本最小，应生产件产品.

（2）设利润为元，则，，令，得，可知当时取得极大值且为****值，因此要使利润****，应生产件产品.

考点：利润****问题.

【题型】解答题

【难度】一般

13． 

【答案】(1)（单位：米）  (2) |AN|＝6米，|AM|＝4.5米，最小面积为27平方米

【解析】设AN的长为x米(x>2)，易得，∴，

∴.

（1）由得，∵，∴，

即，∴或，即AN长的取值范围是（单位：米）.

　　（2）令，则，

∴当时，，即函数在上单调递增，

∴函数上单调递增，

∴当x＝6时，取得最小值，即取得最小值，为27（平方米）.此时|AN|＝6米，|AM|＝4.5米.故当AM、AN的长度分别是4.5米，6米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积是27平方米．

考点：面积最小问题.

【题型】解答题

【难度】一般

14． 

【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）

【解析】（1）根据题中两点预测可知在上单调递增，对恒成立.

（2）将（1，100），（2，120）代入中，得解得

所以，所以，

故在上单调递增，符合预测①；

又当时，，所以此时不符合预测②.

（3）由解得

，要想符合预测①，则有，

即，从而或

当时，，此时符合预测①.由，解得，

即当时，，所以此时不符合预测②；

当，，此时符合预测①，又由，知，所以，从而.

欲使也符合预测②，则，即，又，解得.综上所述，的取值范围是.

考点：函数在实际问题中的应用，导数的应用.

【题型】解答题

【难度】较难