充分条件与必要条件

【学习目标】

1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；

2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；

3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.

4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.

【要点梳理】

要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念

符号与的含义 

“若，则”为真命题，记作：；

“若，则”为假命题，记作：.

充分条件、必要条件与充要条件

①若，称是的充分条件，是的必要条件.

②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件.

要点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到.

①“若，则”为真命题；

②是的充分条件；

③是的必要条件

以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达.

要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断

从逻辑推理关系看

命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系

①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；

②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；

③若，且，即，则、互为充要条件；

④若，且，则是的既不充分也不必要条件.

从集合与集合间的关系看

若p：x∈A，q：x∈B， 

①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；

②若A是B的 真子集，则是的充分不必要条件；

③若A=B，则、互为充要条件；

④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件.

要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：

①确定哪是条件，哪是结论；

②尝试用条件推结论，

③再尝试用结论推条件，

④最后判断条件是结论的什么条件.

要点三、充要条件的证明

 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）

要点诠释：对于命题“若，则”

①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；

②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；

③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题.

【典型例题】

类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定

例1. “x<－1”是“x2－1>0”的________条件．

【解析】，故，但，

∴“x<－1”是“x2－1>0”的充分而不必要条件．

【点评】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”；有时需要将条件等价转化后再判定.

举一反三：

【变式1】指出下列各题中，是的什么条件？

(1) : ， : ；

(2) : ，: 抛物线过原点

(3) : 一个四边形是矩形，: 四边形的邻边相等

【答案】

(1)∵: 或, : 

∴且,∴是的必要不充分条件；

(2)∵且,∴是的充要条件；

(3)∵且，∴是的既不充分条件也不必要条件.

【变式2】判断下列各题中是的什么条件.

（1）:且, :

（2）:, : .

【答案】

（1）是的充分不必要条件.

∵且时，成立；

反之，当时，只要求、同号即可.

∴必要性不成立.

（2）是的既不充分也不必要条件

∵在的条件下才有成立.

∴充分性不成立，同理必要性也不成立.

【变式3】设甲，乙，丙是三个命题，如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分非必要条件，那么丙是甲的（  ）.

A、充分非必要条件     B、必要非充分条件

C、充要条件           D、既不充分也不必要条件

【答案】A；

【解析】由已知有甲乙，丙乙且乙丙.

于是有丙乙甲，且甲丙（否则若甲丙，而乙甲丙，与乙丙矛盾）

故丙甲且甲丙，所以丙是甲的充分非必要条件.

例2.设条件甲为“”， 条件乙为“”那么甲是乙的（     ）

A、充分不必要条件            B、必要不充分条件

C、充要条件                  D、既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】分别解不等式得条件甲为，乙为，BÜA所以甲是乙的必要不充分条件

【点评】

①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；

②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.

举一反三：

【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】

【变式1】已知p：0<x<3，q：|x-1|<2，则p是q的（     ）

（A）充分不必要条件    （B）必要不充分条件

（C）充要条件          （D）既不充分也不必要条件

【答案】q：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q：-1<x<3.

如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)，

从图中看PÜQ， pq，但qp，所以选择（A）.

【变式2】下列各小题中，是的什么条件？（在“充分非必要条件”，“必要非充分条件”，“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一种）

(1) :，:或；

(2) :， :或；

（3）:，:关于的方程有实数根.

【答案】(1) ∵，∴，即:，

又

∴且，

所以是的充分不必要条件.

(2) ∵，  ∴或，即:或，

又

∴且，即

所以是的充分必要条件.

（3）∵关于的方程有实数根，

∴ 即，∴:，

又

∴且，

故是的必要不充分条件.

【高清课堂：充分条件与必要条件394804例3】

【变式3】设，则条件“”的一个必要不充分条件为（    ）

   A.             B.               C.                D.

【答案】A

类型二：充要条件的探求与证明

例3. 设x、y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

【解析】

（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，

于是|x+y|=|x|+|y|

如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，

当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.

当x＜0，y＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.

总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.

（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，

即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，

∴xy≥0.

综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

【点评】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.

判断命题的充要关系有三种方法：

（1）定义法；

（2）等价法，即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法.

（3）利用集合间的包含关系判断，若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件.

举一反三：

【变式1】已知a, b, c都是实数，证明ac<0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.

【答案】

（1）充分性:若ac<0，则Δ=b2-4ac>0，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为x1, x2, 

∵ac<0, ∴x1·x2=<0，即x1,x2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根.

（2）必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x1,x2,且x1>0, x2<0，

则x1·x2=<0，∴ac<0

综上可得ac<0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.

【变式2】求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.

【答案】

（1）a=0时适合.

（2）当a≠0时，显然方程没有零根，

若方程有两异号的实根，则必须满足；

若方程有两个负的实根，则必须满足

综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；

反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，

因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1

类型三：充要条件的应用

例4.已知若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围.

【答案】

【解析】由解得

又由解得

p是q的充分不必要条件，所以

或

解得

【点评】

解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A、B，再由它们的因果关系，得到A与B的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.

举一反三：

【变式1】已知命题p：1－c<x<1＋c(c>0)，命题q：x>7或x<－1，并且p是q的既不充分又不必要条件，则c的取值范围是________．

【答案】0<c≤2

【解析】命题p对应的集合A＝{x|1－c<x<1＋c，c>0}，同理，命题q对应的集合B＝{x|x>7或x<－1}．因为p是q的既不充分又不必要条件，所以或A不是B的子集且B不是A的子集，所以，①或，②，解①得c≤2，解②得c≥－2，又c>0，综上所述得0<c≤2.

【变式2】已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】－2≤a≤2

【解析】B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，

∵p是q的充分不必要条件，

∴，即AÜB，

可知或方程x2＋ax＋1＝0的两根要在区间[1,2]内

∴Δ＝a2－4<0或，得－2≤a≤2.