表示 关系 文字语言 记法 集合间的基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A AÖB 相等 集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素 A⊆B且B⊆A⇔A＝B 空集 空集是任何集合的子集 ∅⊆A 空集是任何非空集合的真子集 ∅ÖB且B≠∅
考点(一) 集合的概念及基本关系
【基本知识通关】
1．集合的有关概念
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
tips：与集合概念有关问题的求解策略
(1)确定构成集合的元素是什么，即确定性．
(2)根据元素的特征性质求参数的值或范围，或确定集合中元素的个数，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
2．集合间的基本关系
①列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系
②结构法：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断
③数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系
【知识应用通关】
1．已知集合A＝{x∈N|x<2}，B＝{y|y＝lg(x＋1)，x∈A}，C＝{x|x∈A或x∈B}，则集合C的真子集的个数为( )
A．3 B．7
C．8 D．15
【答案】B
【解析】因为A＝{x∈N|x<2}，所以A＝{0,1}，因为B＝{y|y＝lg(x＋1)，x∈A}，所以B＝{0，lg 2}．因为C＝{x|x∈A或x∈B}，所以C＝{0,1，lg 2}．所以集合C的真子集的个数为23－1＝7.
2.已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}．若A⊆B，则实数a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
【答案】A
【解析】由题意得集合A＝{x|x2－2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，要使得A⊆B，则a≥2.
3．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈A}，则B＝( )
A．{0,1,2,3,4} B．{0,1,2}
C．{0,2,4} D．{1,2}
【答案】A
【解析】当x＝0，y＝0,1,2时，x＋y＝0,1,2；当x＝1，y＝0,1,2时，x＋y＝1,2,3；当x＝2，y＝0,1,2时，x＋y＝2,3,4.所以B＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈A}＝{0,1,2,3,4}．
4.若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中元素的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
【答案】C
5．已知集合A＝{x∈N|1<x<log2k}，若集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为( )
A．(8，＋∞) B．[8，＋∞)
C．(16，＋∞) D．[16，＋∞)
【答案】C
【解析】法一：∵集合A＝{x∈N|1<x<log2k}，集合A中至少有3个元素，∴log2k>4，解得k>16.故选C.
法二：取k＝16，则集合A＝{x∈N|1<x<log2k}＝{x∈N|1<x<4}＝{2,3}，所以排除A、B、D，故选C.
6.已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )
A．A＝B B．A∩B＝∅
C．A⊆B D．B⊆A
【答案】D
【解析】A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：B⊆A.
考点(二) 集合的基本运算
【基本知识通关】
1．集合的基本运算
符号表示 图形表示 符号语言 集合的并集 A∪B A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 集合的交集 A∩B A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 集合的补集 若全集为U，则集合A的补集为∁UA ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
2.集合基本运算的常见性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∪A＝A，A∪∅＝A.
(2)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.
(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.
【知识应用通关】
的定义域为M，g(x)＝ln(1－x)的定义域为N，则M∪(∁RN)＝( )
1.已知函数f(x)＝ 1/√1-x²
A．{x|x>－1} B．{x|x≥1}
C．∅ D．{x|－1<x<1}
【答案】A
【解析】依题意得M＝{x|－1<x<1}，N＝{x|x<1}，∁RN＝{x|x≥1}，所以M∪(∁RN)＝{x|x>－1}．
2.若全集U＝R，集合A＝{x|1<2x<4}，B＝{x|x－1≥0}，则A∩∁UB＝( )
A．{x|1<x<2} B．{x|0<x≤1}
C．{x|0<x<1} D．{x|1≤x<2}
【答案】C
【解析】由题意知，A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，∁UB＝{x|x<1}，所以A∩∁UB＝{x|0<x<1}．
3.设集合A＝{x*1/2<x<2}，B＝{x|x²<1}，则A∪B＝( )
A．{x|1<x<2} B．{x|－1<x<2}
C.{x*1/2<x<2} D．{x|－1<x<1}
【答案】B
【解析】因为B＝{x|x2<1}＝{x|－1<x<1}，所以A∪B＝{x|－1<x<2}．
4.设集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}
C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}
【答案】B
【解析】A＝{x|2x(x－2)<1}＝{x|x(x－2)<0}＝{x|0<x<2}，B＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，则∁UB＝{x|x≥1}，阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}．
5.已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为( )
A．15 B．16
C．20 D．21
【答案】D
8．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )
A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}
C．{2,3,4} D．{1,3,4}
【答案】A
【解析】由题意得A∪B＝{1,2,3,4}．
9．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝( )
A．{－2，－ 1,0,1,2,3} B．{－2，－1,0,1,2}
C．{1,2,3} D．{1,2}
【答案】D
【解析】∵x2＜9，∴－3＜x＜3，∴B＝{x|－3＜x＜3}．又A＝{1,2,3}，∴A∩B＝{1,2,3}∩{x|－3＜x＜3}＝{1,2}
10．设集合A＝{0,2, 4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁AB＝( )
A．{4,8} B．{0,2,6}
C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}
【答案】C
【解析】∵集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，∴∁AB＝{0,2,6,10}．
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