【巩固练习】
一、选择题
1．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．∃x，
D．对数函数在定义域上是单调函数
2．若命题p：任意x∈R,2x2－1＞0，则该命题的否定是( )
A．任意x∈R,2x2－1＜0 B．任意x∈R,2x2－1≤0
C．存在x∈R,2x2－1≤0 D．存在x∈R,2x2－1＞0
3．下列说法中，正确的是( )
A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题
B．命题“存在x∈R，x2－x＞0”的否定是 “任意x∈R，x2－x≤0”
C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件
4．题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是 ( )
A.不存在x0∈R,2x0>0 B.存在x0∈R,2x0≥0
C.对任意的x∈R,2x≤0 D.对任意的x∈R,2x>0
5．命题p：∀x>1，log2x>0，则¬p是( )
A．∀x>1，log2x≤0
B．∀x≤1，log2x>0
C．∃x>1，log2x≤0
D．∃x≤1，log2x>0
6. 已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为( )
A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1 D．－2≤a≤1
二、填空题
7．已知命题p：“存在x∈R＋，”，命题p的否定为命题q，则q是“________”；q的真假为________．(填“真”或“假”)
8．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．
9．下列命题中真命题为________，假命题为________．
①末位是0的整数，可以被2整除
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
③正四面体中两侧面的夹角相等
④有的实数是无限不循环小数
⑤有些三角形不是等腰三角形
⑥所有的菱形都是正方形
10．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是____________．
三、解答题
11．写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；
(2)p：有的三角形的三条边相等；
(3)p：存在x0∈N，x02－2x0＋1≤0.
12．判断命题的真假，并写出命题的否定．
(1)存在一个三角形，它的内角和大于180°.
(2)所有圆都有内接四边形．
13．写出下列命题的否定：
(1)若2x>4，则x>2；
(2)若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根；
(3)可以被5整除的整数，末位是0；
(4)被8整除的数能被4整除；
(5)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．
14.已知两个命题p：sin x＋cos x＞m，q：x2＋mx＋1＞0.如果对任意x∈R，p与q有且仅有一个是真命题．求实数m的取值范围．
【答案与解析】
1. 【答案】 D
【解析】 A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0；故是假命题．B、D在叙述上没有全称量词，但实际上是指 “所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是特称命题，故选D.
2. 【解析】 全称命题的否定为特称命题．命题p的否定为存在一个实数x,2x2－1≤0，故选C.
【答案】 C
3. 【答案】 B
【解析】 “存在x∈R，x2－x＞0”为特称命题，则它的否定应为全称命题，即“任意x∈R，x2－x≤0”，故选B.
4. 【答案】 D
【解析】 【解析】原命题的否定可写为：“不存在x0∈R,2x0≤0”.其等价命题是：“对任意的x∈R,2x>0”.
5. 【答案】 C
【解析】 全称命题的否定是特称命题．
6. 【答案】 A
【解析】 由已知可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤1，由命题q为真得a≤－2或a≥1，所以a≤－2或a＝1.
7. 【答案】 任意x∈R＋， 假
【解析】 x＞1时，假．
8. 【答案】 ∃x，y∈R，x＋y>1；∀x，y∈R，x＋y≤1；假
【解析】 注意练习符号∃、∀、¬、∧、∨等，原命题为真，所以它的否定为假．
9. 【答案】 ①②③④⑤ ⑥
【解析】正方形的集合是菱形集合的子集.
10．【答案】 对∀x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.
【解析】 该题考查命题的否定．注意存在性命题的否定是全称命题．
11. 【解析】 (1)¬p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4＞0恒成立，故¬p为假命题．
(2)¬p：所有的三角形的三条边不全相等．
显然¬p为假命题．
(3)¬p：任意x∈N，x2－2x＋1＞0.
显然当x＝1时，x2－2x＋1＞0不成立，故¬p是假命题．
12. 【答案】
(1)假命题
所有的三角形，它的内角和都不大于180°.
(2)真命题
存在一个圆，没有内接四边形．
13．【解析】
(1)的否定：存在实数x0，虽然满足2x0>4，但x0≤2.
(2)的否定：存在一个实数m≥0使x2＋x－m＝0无实根．
(3)的否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.
(4)的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除．
(5)存在一个四边形，虽然它是正方形，则它的四条边中至少有两条不相等．
14．【解析】 ∵
∴当p是真命题时，m＜
又∵对任意x∈R，q为真命题，
即x2＋mx＋1＞0恒成立，
有Δ＝m2－4＜0，∴－2＜m＜2.
∴当p为真，q为假时，m＜，且m≤－2或m≥2，
即m≤－2，
当p为假，q为真时，m≥且－2＜m＜2，即≤m＜2，
综上，实数m的取值范围是m≤－2或≤m＜2.
在线留言
咨询报名